2、3、4、5の数字がかかれた紙がそれぞれ4枚ずつ、計20枚16枚ある。この中からランダムに2枚を引いたときに、小さい方の数をA、大きい方の数をBとする。同数の場合はA、Bともにその数とする。このとき、A、Bそれぞれの期待値を求めよ。

A＝2.83
B＝4.17

サイコロをX個投げたとき、1から6までの目が最低ひとつずつ出ている確率

サイコロ9個＝19％
サイコロ10個＝27％
サイコロ11個＝36％
サイコロ12個＝45％

だいたいこんな感じ。さすがに9個と12個では天地の差があります。

ぶんぼは362797056（なんか投げやりだ）

??????XXXXXを並べる。

壱：XXXXX=AAAAA
???????????で11!÷6!=55440
壱=55440×6=332640

弐：XXXXX=AAAAB
???????????で11!÷5!÷2!=166320
弐=166320×30=4989600

参：XXXXX=AAABB
???????????で11!÷4!÷3!=277200
参=277200×30=8316000

四：XXXXX=AAABC
???????????で11!÷4!÷2!÷2!=415800
四=415800×60=24948000

五：XXXXX=AABBC
???????????で11!÷3!÷3!÷2!=554400
五=554400×60=33264000

六：XXXXX=AABCD
???????????で11!÷3!÷2!÷2!÷2!=831600
六=831600×60=49896000

七：XXXXX=ABCDE
???????????で11!÷2!÷2!÷2!÷2!÷2!=1247400
七=1247400×6=7484400

壱から七までの合計=179126640

求める確率は
129230640/362797056=35.62％

分母6^10=60466176
??????XXXX
壱：XXXX=AAAA
??????????の順列は
10!÷5!=30240
AAAAは?から?まであるので
壱=30240×6=181440

弐：XXXX=AAAB
??????????の順列は
10!÷4!÷2!=75600
AAABの組み合わせは6P2=30通り
弐=75600×30=2268000

参：XXXX=AABB
??????????の順列は
10!÷3!÷3!=100800
AABBの組み合わせは6C2=15通り
参=100800×15=1512000

四：XXXX=AABC
??????????の順列は
10!÷3!÷2!÷2!=151200
AABCの組み合わせは、
例えばA=?とするとBCは残りの?〜?のふたつとなり、その場合の数は
5C2=10通り。Aは6通りあるからAABCの組み合わせは全部で
10×6=60通り
四=151200×60=9072000

五：XXXX=ABCD
??????????の順列は
10!÷2!÷2!÷2!÷2!=226800
ABCDの組み合わせは6C4=15通り
五=226800×15=3402000

壱＋弐＋参＋四＋五=16435440

よって求める確率は
16435440/60466176=27.18％

分母は簡単。6^9=10077696通り
問題は分子なんですけど、
まずは1から6まで出るのを確定させて、あとは何でもいいということで出目を並べると、
??????XXX（Xは1から6の数）

壱：XXXがAAA（同じ数3つ）の時
例えばA=?だと、?????????となり、その順列の場合の数は
9!÷4!=15120通り、それが×6あるから
壱=15120×6=90720通り

弐：XXXがAABの時
例えばA=?、B=?だと?????????で場合の数は
9!÷3!÷2!=30240通り
AABの組み合わせがいくつあるかというと2P6=30だから、
弐=30240×30=907200通り

参：XXXがABCの時
A=?、B=?、C=?だと?????????で場合の数は
9!÷2!÷2!÷2!=45360通り
ABCの組み合わせが6C3=20よって
参=45360×20=907200通り

よって求める分子は
90720＋907200＋907200=1905120

求める確率は
1905120/10077696=18.90％

サイコロを9個ふるという時点で爆笑してしまったこのゲーム。サイコロを使ってるんで、確率で攻めるにはもってこいです。
簡単にポイントを整理すると、大切なのはサイコロをふって1から6の目が最低1つずつ全て出揃うこと。そしてサイコロは頑張れば3つまで増やせること。じゃあ頑張って増やしただけのメリットがあるのかどうか。これ重要。

まずは単純な計算から。サイコロを6個ふって、1から6の目が出揃う確率は、
分母が6^6=46656
分子が6!=720
よって求める確率は
720/46656=1.54％

じゃあ、サイコロが7個になったら。
分母が6^7=279936
分子が??????A（Aは何でもいい）の順列。
A=?のとき、???????の順列で、場合の数は
7!÷2!=2520通り
A=?〜?まであるので、
2520×6=15120
よって求める確率は
15120/279936=5.40％

まてまて。サイコロは互いに独立してるから、同じものを含む順列で計算したらだめな気がする。と思ったけどやっぱりこれであってる気がする。

じゃあサイコロが8個になったら。
分母が6^8=2239488
分子が??????AAの順列なんで、以下場合分け。
?-AAが同じ目
たとえばAAが??
????????の順列なんで、
8!÷3!=6720が6通りあるんで×6=40320
?-AAが違う目
たとえばAAが??
????????の順列なんで、
8!÷2!÷2!=10080、それが15通りあるんで×15=151200
?+?=191520
よって求める確率は
191520/2239488=8.55％

サイコロ9個だとAAAを3つに場合分けって・・・。
めんどくさいんでとりあえずここまで。

あんまり膨らませるつもりはないんですけど。

　どっちが有利かを証明するなら、多分mtgの対戦を母数10万くらい取ってきて、先攻と後攻の勝率を出すといいかと思います。が、そんなことはできないんで、机上の空論ってことで。

　まずは参考として、将棋は先攻後攻どちらが有利かってのを調べてみたんですけど、どうやらプロの対戦だと先攻の勝率が55％らしいです。やってることがやってることだけに、先攻が有利っていうのも頷けます。それから、囲碁はどうなってるかというと、これはもう明らかに先攻が有利なんで、コミという制度（先攻が後攻に与えるハンデ）を設けています。ヒカルの碁で知ったんですけどね。ヒカルの碁が連載されてた時はコミは5目半だったんですけど、今はどうやら6目半になってます。
　とまああくまで参考なんですけど、将棋と囲碁はこんな感じになってます。mtgとは競技性が違いすぎるかもしれませんが、ひとつ注目すべき点が。それは、先攻後攻どっちが有利かを考える上で、mtgは囲碁寄りであるという点。具体的にいうと、先攻は1ターン目のドローをとばすことで、後攻にアドバンテージを与えているという所です。これはつまり、普通にやったら先攻が有利に決まってるだろうということを、ゲームの作り手自らが認めているということです。

　以上の点から、mtgは先攻と後攻どちらが有利なのかという問題は、言い換えれば後攻がゲーム開始時に（実質的に）手札が1枚だけ多いことは、先攻有利なこのゲームにおいてどれだけ双方のアドバンテージを埋めることができているのかという問題だと思います。そしてどちらが有利なのかを論ずるのであれば、この1枚のカードアドバンテージで先攻有利の（主にテンポ）アドバンテージをどれだけチャラにできているかを考えなければならないでしょう。

　囲碁はコミが変わりました。でも、コミ6目半でも黒（先手）を持ちたいという棋士もいます。mtgも「所詮先攻ゲー」という風潮があまりにも高まれば、もしかしたら後攻側へのハンデが大きくなるかもしれませんね。

　だからと言って、スタートで手札に2枚差をつけるのはちょっとアレですが。スタート時のハンド枚数がどうこうっていうのは、デッキにもよりますしね。後攻は初手8枚でドローステップを飛ばすとか？ただ、リミテッド（特にシールド）なんかを考えると、意外に面白いかもしれません。

・・・実際に考えるのは、そのうちってことでノシ

ま、手計算といっても、立式が脳内＆紙上ってだけで、実際に計算してるのは計算機なんですけどね。

デッキに、A、B、Cというカードが4枚ずつ、Dというカードが48枚で計60枚のカードが入っています。で、例えば初手7枚+ドロー3回で全部で10枚引いたとき、最低1枚ずつABCのカードを引いている確率を求めるにはどうすればいいか。
とここまで書いてて思ったんですが、これってトロン以外のカードをいちいちDとおく必要はなさそうですね。Dは何でもいいという記号にします。
で、10枚並べてみると、ABCDDDDDDDとなります。あとは同じ物を含む順列を考えればいいので、意外に簡単に求まる予感。
ABCがそれぞれ1個ずつ、Dが7個を並べた時の場合の数は、720通り。
10枚引いてABCDDDDDDDになる確率は、8/25665。
求める確率は、720×8/25665。
パーセントに直すと、22.4％。

へえ、意外と高い。

これを踏まえて実践編。

私は、先日行われた世界選手権で大活躍したトリスケトロンを使っています。で、私先攻の1本目。初手を見てみると、

ウルザの鉱山
ウルザの魔力炉

他×5

でした。要は、あと1枚のウルザ地形は、どのくらい頑張ったら引けるのかというものです。
デッキに残っているカードは53枚。お目当てのカードは4枚。単純に次のドローがタワーな確率は、7．55％。以下、次のような確率になります。
2枚目のドローまでに塔を引ける確率…14．66％
3枚目までに引ける…21．35％
4枚目までに引ける…27．64％
5枚目までに引ける…33．55％
6枚目までに引ける…39．09％
7枚目までに引ける…44．28％
8枚目までに引ける…49．12％
9枚目までに引ける…53．65％

こんなもんですかね。ちなみにこの数字、デッキに4積みのカードが初手になかったときに、何枚ライブラリーをめくればいいのかっていう確率と同値ですね。先攻でドローもライブラリー操作も何もしなかったら、デッキに4積みのカードは10ターン後までには1枚は引けることが、2回に1回はありますよと。
つまり、ライブラリー操作もしないでトロンを安定してそろえるには、確率を超えた見えない力が必要ですよと。

なんだこの高校数学日記（汗

その2は期待値の話も絡めて、できれば年始までに。

確率好きなんですよ。理論派なんで。
何年か前に、デッキ60枚中土地がA枚として、初手7枚に何枚あるかの確率を表にしました。ヒマだったね、あの年のGWは。ま、コツをつかめばそんなに大変な作業ってわけでもないんですけどね。
そんな中から、いくつか日記にメモってみます。

デッキは60枚、土地は21枚とする。
初手7枚に土地が
0枚…3．98％
1枚…17．74％
2枚…31．31％
3枚…28．33％
4枚…14．16％
5枚…3．90％
6枚…0．55％
7枚…0．03％

デッキにもよりますが、例えば土地が0枚、1枚、6枚、7枚はまあマリガンだとします。そうなる確率は22．30％。おお、結構高い。
で、マリガンしました。

マリガン後の手札6枚中土地が
0枚…6．52％
1枚…24．15％
2枚…34．50％
3枚…24．28％
4枚…8．86％
5枚…1．59％
6枚…0．11％

さっきと同じ基準で考えて、土地が0枚、1枚、5枚、6枚の確率は
32．37％。
逆に考えると、土地が2枚〜4枚とマリガン前よりはマシだろうっていうハンドになる確率は
67．63％。

ちなみに、このデッキが先攻で初手に土地1枚でGOして、次のターンのドローが土地の確率は
37．74％。
このデッキが後攻で、次とその次のドローのどちらか（または両方）が土地の確率は
61．68％。

具体例を挙げてみます。私は、先日行われた世界選手権で初日6-0の成績を残したボロスの完コピ（土地21枚）を持って大会に参加しています。
1回戦の1本目。ダイスロールで6ゾロを出し、「先攻もらいます」と控えめに言いながらも、心の中では「さあ今日も頼むぜ、俺のボロス！」と、自分のボロスじゃないのに威勢のいいことを思いながら初手を見てみると。

聖なる鋳造所

サバンナライオン×2
稲妻のらせん×2
黒焦げ
裂け目の稲妻

とまあこんな感じの素敵な土地1枚のオープンハンドでした。
さて、ここで2択です。

?マリガンを選択する
→ここでさっきのマリガン後の手札6枚中土地の表を見てみると

0枚…6．52％→状況最悪、ダブルマリガン確定
1枚…24．15％→状況悪化、ダブルマリガンかなあ
2枚…34．50％→素晴らしい！エクセレントっ！
3枚…24．28％→スペル半減（3枚）、土地安定
4枚…8．86％→スペルが2枚に、土地過剰
5枚…1．59％→いわゆる逆土地事故、ダブルマリガンでしょう
6枚…0．11％→状況最悪、ダブルマリガン

です。土地が3枚になっても大丈夫なら、少なくとも58．78％の確率でマリガンすると事態は好転します。

?漢ならノーマリガンじゃあ！
→これを選ぶと、次のターン62．26％の確率で土地が置けません。この前の世界選手権準決勝の、ライオン祭り再現です。が、さらに次のターンにまで目をやると、2ターン目土地が引けずにさらに3ターン目も土地を引けない確率は38．32％。つまり、6割強の確率で3ターン目までには2枚目の土地が置けるということです。そうなるとデッキの性質上、初手に土地1枚でもGOは「なし」ではないでしょう。
ちなみに、初手ランド1GOで、2ターン目も3ターン目も4ターン目も土地が置けない確率は23．29％。

?を選ぶと、40％くらいでダブルマリガンです。
?を選ぶと、38％くらいで土地が止まります。さらに、23％くらいで目もあてられない状況に出会えます。

とまあボロスの初手を考えただけでも結構遊べるという結果になりました。ちなみに、全部手計算だったと思うんで、鵜呑みにすると危険かもしれません。一応ちゃんとした式で計算した気がするんで、まあ、合ってるでしょう。数学得意だったんできっと大丈夫。きっと。多分。

次回作は、「トロンをそろえるために」とか計算してみようかな。年始ヒマだったら…。

昔計算した式を引っ張り出してきました。

デッキは60枚
デッキに入ってる土地−初手に土地0枚−初手に土地1枚−初手に土地1枚以下　の順番

0枚−100％−0％−100％
1枚−88.33％−11.67％−100％
2枚−77.85％−20.96％−98.81％
3枚−68.46％−28.19％−96.65％
4枚−60.05％−33.63％−93.68％
5枚−52.54％−37.53％−90.07％
6枚−45.86％−40.12％−85.98％
7枚−39.91％−41.61％−81.52％
8枚−34.64％−42.17％−76.81％
9枚−29.98％−41.97％−71.95％
10枚−25.86％−41.15％−67.01％
11枚−22.24％−39.83％−62.07％
12枚−19.06％−38.13％−57.19％
13枚−16.28％−36.14％−52.42％
14枚−13.86％−33.95％−47.81％
15枚−11.75％−31.63％−43.38％
16枚−09.92％−29.24％−39.16％
17枚−08.34％−26.84％−35.18％
18枚−06.99％−24.49％−31.48％
19枚−05.82％−22.12％−27.94％
20枚−04.83％−19.88％−24.71％
21枚−03.98％−17.74％−21.72％
22枚−03.27％−15.73％−19.00％
23枚−02.67％−13.84％−16.51％
24枚−02.16％−12.10％−14.26％
25枚−01.74％−10.51％−12.25％
26枚−01.39％−09.05％−10.44％

うーむ、てことは、全部で10枚くらい放り込んでおけば初手に1枚以上ある確率が75％くらいなのね。

↓これが昔計算したやつです。同じ表。

http://diarynote.jp/d/54709/20050425.html

デッキに土地が24枚で、2マナのランドサーチが桜族の長老×4とします。

初手に土地が2枚以上あり、かつファーストドロー後に長老を最低1枚引いている確率は、

31.03％

約3割弱の確率で3ターン目に4マナにたどり着く計算。

デッキの土地の枚数/60
初手7枚中の土地がその枚数である確率

24/60
0枚・・・2.16％
1枚・・・12.10％
2枚・・・26.94％
3枚・・・30.87％
4枚・・・19.64％
5枚・・・6.93％
6枚・・・1.25％
7枚・・・0.09％

23/60
0枚・・・2.67％
1枚・・・13.84％
2枚・・・28.56％
3枚・・・30.29％
4枚・・・17.82％
5枚・・・5.80％
6枚・・・0.97％
7枚・・・0.06％

22/60
0枚・・・3.27％
1枚・・・15.73％
2枚・・・30.02％
3枚・・・29.43％
4枚・・・15.98％
5枚・・・4.79％
6枚・・・0.73％
7枚・・・0.04％

こんな感じです。国立大学入試で最初に受ける某テストで100点だったから数学苦手じゃないんで多分あってる。

多分。

一応土地の枚数0から26までの確率出したけど、こんなんパソコンのエクセルかなんかででやったほうが100倍早いって気付いた、そんな春のこと。

内容はこの前使った放火砲デッキ。レシピはめんどくさいんで割愛します。

デッキに土地が
森×10
山×2
とします。
A.初手に土地が0枚…19.06％
B.初手に土地が1枚…38.13％

もう少し細かく
B1.その1枚が森…31.77％
B2.その1枚が山…6.36％

C.初手に土地が2枚…27.87％
もう少し細かく
C1.森×2…19.00％
C2.森＆山…8.45％
C3.山×2…0.42％

D.初手に土地が3枚以上…14.94％

C1、C2、Dはノーマリガンですね。むしろ勝ち、みたいな。一方、Aは見た瞬間マリガン、B2とC3もまあマリガンでしょう。で、問題はB1でお供に鳥か最悪独楽がいないと話になりません（むしろ独楽はちょっと無理かな）。で、B1…31.77％をさらに細かくわけると、
B1-1鳥お供…12.69％
B1-2独楽お供…12.69％
B1-3両方お供…5.07％
B1-4両方いない…1.32％
となります。
この辺から計算怪しい。

さて、もうおわかりですね。そう、このデッキのマリガン率は、かなりおおざっぱに計算した結果、
A＋B1-2＋B1-4＋B2＋C3＝39.85％

約40％と出ました。…この数字を見てしまったので、僕はもう土地を引けません。

さ、寝よう（爆

どっかで間違ってる可能性が大いにありますので、鵜呑みにせずに検算してください。
デッキは60枚
デッキに入ってる土地−初手に土地0枚−初手に土地1枚−初手に土地1枚以下　の順番

0枚−100％−0％−100％
1枚−88.33％−11.67％−100％
2枚−77.85％−20.96％−98.81％
3枚−68.46％−28.19％−96.65％
4枚−60.05％−33.63％−93.68％
5枚−52.54％−37.53％−90.07％
6枚−45.86％−40.12％−85.98％
7枚−39.91％−41.61％−81.52％
8枚−34.64％−42.17％−76.81％
9枚−29.98％−41.97％−71.95％
10枚−25.86％−41.15％−67.01％
11枚−22.24％−39.83％−62.07％
12枚−19.06％−38.13％−57.19％
13枚−16.28％−36.14％−52.42％
14枚−13.86％−33.95％−47.81％
15枚−11.75％−31.63％−43.38％
16枚−09.92％−29.24％−39.16％
17枚−08.34％−26.84％−35.18％
18枚−06.99％−24.49％−31.48％
19枚−05.82％−22.12％−27.94％
20枚−04.83％−19.88％−24.71％
21枚−03.98％−17.74％−21.72％
22枚−03.27％−15.73％−19.00％
23枚−02.67％−13.84％−16.51％
24枚−02.16％−12.10％−14.26％
25枚−01.74％−10.51％−12.25％
26枚−01.39％−09.05％−10.44％

初手にランドが1枚以下ってのはまあマリガンでしょうから、一番右側の数字が（すごく単純な）マリガン率ってことで。一応これらの数字を使って分かるのが、
60枚デッキに4枚のカードが初手にある確率＝39.95％
同3枚＝31.54％
同2枚＝22.15％
同1枚＝11.67％
こんな感じです。気が向いたら他にも計算してみよう。