トロンをそろえるためにの立式その1

ま、手計算といっても、立式が脳内＆紙上ってだけで、実際に計算してるのは計算機なんですけどね。

デッキに、A、B、Cというカードが4枚ずつ、Dというカードが48枚で計60枚のカードが入っています。で、例えば初手7枚+ドロー3回で全部で10枚引いたとき、最低1枚ずつABCのカードを引いている確率を求めるにはどうすればいいか。
とここまで書いてて思ったんですが、これってトロン以外のカードをいちいちDとおく必要はなさそうですね。Dは何でもいいという記号にします。
で、10枚並べてみると、ABCDDDDDDDとなります。あとは同じ物を含む順列を考えればいいので、意外に簡単に求まる予感。
ABCがそれぞれ1個ずつ、Dが7個を並べた時の場合の数は、720通り。
10枚引いてABCDDDDDDDになる確率は、8/25665。
求める確率は、720×8/25665。
パーセントに直すと、22.4％。

へえ、意外と高い。

これを踏まえて実践編。

私は、先日行われた世界選手権で大活躍したトリスケトロンを使っています。で、私先攻の1本目。初手を見てみると、

ウルザの鉱山
ウルザの魔力炉

他×5

でした。要は、あと1枚のウルザ地形は、どのくらい頑張ったら引けるのかというものです。
デッキに残っているカードは53枚。お目当てのカードは4枚。単純に次のドローがタワーな確率は、7．55％。以下、次のような確率になります。
2枚目のドローまでに塔を引ける確率…14．66％
3枚目までに引ける…21．35％
4枚目までに引ける…27．64％
5枚目までに引ける…33．55％
6枚目までに引ける…39．09％
7枚目までに引ける…44．28％
8枚目までに引ける…49．12％
9枚目までに引ける…53．65％

こんなもんですかね。ちなみにこの数字、デッキに4積みのカードが初手になかったときに、何枚ライブラリーをめくればいいのかっていう確率と同値ですね。先攻でドローもライブラリー操作も何もしなかったら、デッキに4積みのカードは10ターン後までには1枚は引けることが、2回に1回はありますよと。
つまり、ライブラリー操作もしないでトロンを安定してそろえるには、確率を超えた見えない力が必要ですよと。

なんだこの高校数学日記（汗

その2は期待値の話も絡めて、できれば年始までに。